Axiomas, postulados y teoremas

POSTULADOS Y TEOREMAS

Postulados o axiomas: verdades que por ser tan evidentes se aceptan como tales. No necesitan ser demostradas

Teoremas: verdades que no son tan evidentes y que, por lo tanto, deben ser demostradas.

El enunciado de un teorema consta de dos partes: hipótesis (contiene los datos) y tesis (verdad que se quiere demostrar). El razonamiento o deducción lógica que se hace para concluir la tesis utilizando la hipótesis se llama demostración.

Lemas: teoremas de menor importancia (facilitan la demostración de teoremas de mayor importancia).

Corolario: toda consecuencia directa que se deduce por un razonamiento simple

Teorema recíproco de otro: cuando la tesis del primero pasa a ser hipótesis del segundo y la hipótesis del primero se convierte en la tesis del segundo.

POSTULADOS O AXIOMAS

1)   Por dos puntos se puede trazar una única recta

2)   Por un punto fuera de una recta se puede trazar una sola perpendicular a ella

3)   Por un punto de una recta  se puede trazar una sola perpendicular a ella

4)   Por un punto fuera de una recta se puede trazar una sola paralela a ella

5)   Dos rectas perpendiculares a una misma recta son perpendiculares entre sí

6)   Dos rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí

DEFINICIONES

1) Distancia entre dos puntos: Es la medida del segmento que los une

2) Distancia de un punto a una recta: Es la medida del segmento que se inicia en el punto y llega perpendicularmente a la recta (por postulado anterior hay uno sólo)

3) Segmento oblicuo: es todo segmento trazado desde un punto a una recta que no es perpendicular a ella.

4) Distancia entre dos rectas paralelas: es la medida del segmento determinado por las rectas en una perpendicular a ambas

5) Simetral de un segmento: es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

6) Bisectriz de un ángulo: es el rayo que divide al ángulo en dos partes de igual medida, es decir, lo bisecta.

7) Dos rectas paralelas cortadas por una transversal generan dos grupos de ángulos: ángulos correspondientes, ángulos alternos internos y ángulos alternos externos 

TEOREMAS Y POSTULADOS GEOMÉTRICOS

Puntos, Líneas y Planos

Postulado 1: A través de dos puntos cualesquiera existe solamente una línea

Postulado 2: A través de tres puntos cualesquiera que no se encuentren en la misma línea existe exactamente un plano.

Postulado 3: Una línea contiene por lo menos dos puntos.

Postulado 4: Un plano contiene por lo menos tres puntos que no se encuentren en la misma línea.

Postulado 5: Si dos puntos yacen en el mismo plano, entonces la línea entera que contiene esos puntos yace en ese plano.

Postulado 6: Si dos planos se cruzan, entonces su intersección es una línea.

Teorema 1: Si existe una línea y un punto que no se encuentran en la línea, entonces existe exactamente un plano que las contiene.

Teorema 2: Si dos líneas se intersectan, exactamente un plano contiene a las dos líneas.

MEDIDA

Postulado de la línea Numérica: Cada número real corresponde a exactamente un punto en la línea numérica. Cada punto en la línea numérica  corresponde a exactamente un número real.

Postulado de la Distancia: Por dos puntos cualesquiera en una línea y una cierta unidad de medida, existe un número positivo único llamado la medida  de la distancia entre los dos puntos.

Teorema de la Bisectriz: Si AB forma una bisectriz en el punto C, entonces AC = CB.

Reflexiva: a = a

Simétrica: Si a = b, entonces b = a

Transitiva: Si a = b y c = d, entonces a = c.

Adición y Sustracción: Si  a =b, entonces a + c = b +c,     y a - c = b – c

Multiplicación y División: Si a es igual a b, entonces a multiplicado c es igual a b multiplicado c, y si c no es igual a cero, entonces a dividido c es igual a b dividido c.

Sustitución: Si a es igual a b, entonces a puede ser reemplazada b.

Propiedades de las Operaciones para cualquier número a, b, y c

	Adición	Multiplicación
Conmutativa	a + b = b + a	a * b = b * a
Asociativa	(a + b) + c = a + (b + c)	(a * b) * c = a * (b * c)
Identidad	a + 0 = a = 0 + a	a * 1 = a = 1 * a
Inversa	a + (-a) = 0 = -a +a	Si a no es igual 0 entonces a * 1/a = 1 = 1/a * a
Propiedad Distributiva de la Multiplicación sobre la Adición: a(b + c) = ab + ac y (b + c)a = ba +ca

Propiedades de la Desigualdad para cualquier número a, b, y c

Comparación	a < b or a = b, or a > b
Adición y Sustracción	1. Si a > b, entonces a + c > b + c y a - c > b - c 2. Si a < b , entonces a + c < b + c y a - c < b - c
Multiplicación y División	1. Si c > 0 y a < d, entonces ac < bc y a/c < d/c 2. Si c > 0 y a > d, entonces ac > bc y a/c > d/c 3. Si c < 0 y a < d, entonces ac > bc y a/c > d/c 4. Si c > 0 y a > d, entonces ac < bc y a/c < d/c
Transitiva	1. Si a < b y b < c, entonces a < c 2. Si a > b y b > c, entonces a > c

Teorema 3 Si un segmento es dado, entonces este tiene exactamente un punto medio.

Teorema 4 La congruencia de un segmento es reflexivo.

Teorema 5 La congruencia de un segmento es simétrica.

Teorema 6 La congruencia de un segmento es transitiva.

Teorema del Punto Medio Si M es el punto medio de AB, entonces AM = MB.

ÁNGULOS Y PERPENDICULARES

Postulado de la Medida del Angulo por cada ángulo existe un número positivo único entre 0 y 180 llamado la medida del grado del ángulo.

Postulado de la Adición de Ángulos: Si R se encuentra en el interior del ángulo PQS, entonces ángulo PQR + ángulo RQS = ángulo PQS.

Postulado del Suplemento: Si dos ángulos forman un par lineal, entonces ellos son ángulos suplementarios.

Teorema 8 Si dos ángulos son suplementarios a un mismo ángulo, entonces ellos son congruentes.

Teorema 9 Si dos ángulos son suplementarios a dos ángulos congruentes, entonces los dos ángulos son congruentes entre si.

Teorema 10 Si dos ángulos son complementarios con el mismo ángulo, entonces son congruentes entre si.

Teorema 11 Si dos ángulos son complementarios con dos ángulos congruentes, entonces los dos ángulos son congruentes entre si.

Teorema 12 Si dos ángulos son ángulos rectos, entonces son ángulos congruentes

Teorema 13 Si un ángulo en un par linear es un ángulo recto, entonces el otro ángulo es también un ángulo recto.

Teorema 14 Si dos ángulos son congruentes y suplementarios, entonces cada ángulo es un <  recto.

Teorema 15 Si dos líneas que se interceptan forman un < recto, entonces ellos forman cuatro ángulos rectos.

Teorema 16 Si dos ángulos son verticales, entonces son congruentes.

Teorema 17 Si dos líneas son perpendiculares, entonces ellas forman ángulos adyacentes congruentes

Teorema 18 Si un punto se encuentra en una línea en un plano, entonces existe exactamente una línea en ese plano perpendicular al la línea dada con respecto al unto dado.

Teorema 19Si dos líneas son perpendiculares, entonces ellas forman ángulos adyacentes congruentes.

Teorema 20Si dos líneas que se intersectan forman ángulos adyacentes congruente, entonces ellas son perpendiculares.

Teorema 21 Si una línea es perpendicular a dos líneas que se intersectan en sus puntos de intersección, entonces es perpendicular al plano que contiene las dos líneas.

Teorema 22 Dos planos son perpendiculares si y solamente si ellas intersectan para formar un < diedro recto.

TRIÁNGULOS CONGRUENTES

LLL Si cada lado del triangulo es congruente al lado correspondiente de otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.

LAL Si dos lados y el ángulo incluido de un triangulo son congruentes al lado correspondiente y al ángulo incluido de otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.

ALA Si dos ángulos y el lado incluido de un triangulo son congruentes al los ángulos correspondientes y el lado incluido de otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes

CH Si la hipotenusa y uno de los catetos de un triangulo recto son congruentes al los lados correspondientes de otro triangulo recto, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema de la Suma del Angulo La suma del grado de medida de los ángulos de un triangulo es 180

Teorema 23 Si un triangulo es equiangular, entonces el grado de medida de cada ángulo es 60 grados

Teorema 24 Si un triangulo es un triangulo recto, entonces los ángulos agudos son complementarios.

Teorema 25 La congruencia de los triángulos es reflexiva, simétrica,  y transitiva.

AAL Si dos ángulos y un lado no incluido de un triangulo son congruentes a los lados correspondientes y al lado no incluido de otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema del Triangulo Isósceles Si dos lados de un triangulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a esos lados  son congruentes.

Teorema 26 Si un triangulo es equilátero, entonces el triangulo es equiangular.

Teorema 27 Si un triangulo es equilátero, entonces cada ángulo tiene un grado de medida de 60°

Teorema 28 Si dos ángulos de un triangulo son congruentes, entonces los lados opuestos a ese ángulo son congruentes.

Teorema 29 Si un triangulo es equiangular, entonces el triangulo es equilátero

AH Si la hipotenusa y un ángulo agudo del triangulo recto son congruentes a la hipotenusa correspondiente y al ángulo agudo de otro triangulo recto, entonces los triángulos son congruentes.

CC Si los catetos de un triangulo recto son congruentes  a los catetos correspondientes a otro triangulo recto, entonces  los triángulos son congruentes.

CA Si un lado y un ángulo agudo de un triangulo recto son congruentes a un lado correspondiente y a un ángulo agudo de otro triangulo recto, entonces los triángulos son congruentes.

DESIGUALDADES

Teorema del Angulo Exterior Si un ángulo es un  ángulo exterior del triangulo, entonces su medida es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores lejanos.

Teorema de la desigualdad Por cualquier numero s y p, s>p si y solamente si existe un número positivo b tal que s = p+b.

Teorema 30 Si un ángulo es un ángulo exterior de un triangulo, entonces su medida es mayor que la medida de cualquier ángulo interior lejano.

Teorema 31 Si la medida de dos lados de un triangulo no son iguales, entonces la medida de los ángulos opuestos a esos lados no son iguales en el mismo orden.

Teorema  32 Si la medida de dos ángulos de un triangulo no son iguales, entonces la medida de los lados opuestos a esos ángulos no son iguales en el mismo orden.

Teorema 33 Un segmento es el segmento mas corto desde un punto hacia una línea si y solamente si es el segmento perpendicular a la línea.

Teorema 34 Un segmento es el segmento mas corto desde un punto hacia una línea si y solamente si es el segmento perpendicular a un plano.

Teorema del Eje Si dos lados de un triangulo son congruentes a los dos lados de otro triangulo y las medidas de los lados terceros  no son iguales, entonces las medidas de los ángulos incluidos entre los pares de lados congruentes no son iguales en el mismo orden.

Inversa del Teorema del Eje Si dos lados de un triangulo son congruentes a los dos lados de otro triangulo y las medidas de los lados terceros no son iguales, entonces las medidas de los ángulos incluidos entre los pares de lados congruentes no son iguales en el mismo orden.

PARALELAS

Postulado de la Paralela Si existe una línea y un punto que no se encuentra en la línea, entonces existe exactamente una línea a través del punto que es paralelo a la línea dada.

Teorema 35 Si dos líneas son cortadas por una transversal y un par de ángulos alternos internos son congruentes, entonces todos los pares de ángulos correspondientes son congruentes.

Teorema  36 Si dos líneas son cortadas por una transversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces todos los pares de ángulos correspondientes son congruentes.

Teorema 37 Si un triangulo es un triangulo recto, entonces este no tiene mas de un ángulo recto.

Teorema 38 En un plano, si dos líneas son cortadas por una transversal de modo que un par de ángulos alternos internos sean congruentes, entonces las dos líneas son paralelas.

Teorema 39 En un plano, si dos líneas son cortadas por una transversal, de modo que el par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las dos líneas son paralelas.

Teorema 40 En un plano, si dos líneas son cortadas por una transversal de modo que el par de ángulos consecutivos internos sean suplementarios, entonces las líneas son paralelas.

Teorema 41 En un plano, si dos líneas son cortadas por una transversal de modo que el par de ángulos alternos externos, sean congruentes, entonces las líneas son paralelas.

Teorema 42 En un plano, si dos líneas son perpendiculares a la misma línea, entonces las líneas son paralelas.

Teorema 43 Si dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos correspondientes son congruentes.

Teorema 44 Si dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos son congruentes.

Teorema 45 Si dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos consecutivo interno son suplementarios.

Teorema 46 Si dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos son congruentes.

Teorema 47 En un plano, si una línea es perpendicular a una de dos líneas paralelas, entonces esta es perpendicular a la otra.

Teorema 48 Dada una línea y un punto que no se encuentran en una línea, entonces existe exactamente una línea que pasa a través del punto que es perpendicular a la línea dada.

Teorema 49 En un plano, dos líneas son paralelas si y solamente si se encuentran en cualquier lugar del plano a la misma distancia.

POLÍGONOS

Teorema 50 Si un polígono convexo tiene n lados y S es la suma del grado de medida de sus ángulos, entonces S = (n-2) 180.

Teorema 51 Si un polígono es convexo, entonces la suma del grado de medida de sus ángulos externos, uno en cada vértice, es 360.

Teorema 52 Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces la diagonal lo separa en dos triángulos congruentes.

Teorema 53 Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus ángulos opuestos son congruentes.

Teorema 54 Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus lados opuestos son congruentes.

Teorema 55 Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus diagonales se cortan entre si.

Teorema 56 Si los dos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema 57 Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema 58 Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan entre si, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema 59 Si un cuadrilátero es un rectángulo, por lo tanto sus diagonales son perpendiculares.

Teorema 60 Si un cuadrilátero es un rombo, por lo tanto cada diagonal corta un par de ángulos opuestos.

Teorema 61 Si un cuadrilátero es un rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares.

Teorema 62 Si un trapezoide es isósceles, entonces cada par de ángulos de base es congruente.

Teorema 63 Si un trapezoide es isósceles, entonces sus diagonales son congruentes.

Teorema 64 Si un cuadrilátero es un trapecio, entonces la mediana es paralela a las bases, y la medida es un medio de la suma de las medidas de las bases.

Perímetro del rectángulo Si un rectángulo tiene un perímetro de S unidades, entonces S=2 (l+w).

SEMEJANZA

AA Si dos ángulos de un triangulo son congruentes con dos ángulos correspondientes de otro triangulo, entonces los triángulos son semejantes.

LAL Si la medida de dos lados correspondientes de un triangulo son proporcionales a la medida de dos lados correspondientes de otro triangulo, y los ángulos incluidos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

LLL Si existe una correspondencia entre dos triángulos para que las medidas de sus lados correspondientes son proporcionales, entonces los dos triángulos son semejantes.

Teorema 65 Si una línea intersecta dos lados de un triangulo, y separa al otro lado en dos segmentos de longitudes proporcionales, entonces la línea es paralela a un tercer lado.

Teorema 66 Si una líneas es paralela a un lado del triangulo e intersecta a los otro los lados, entonces este separa a los lados en segmentos de longitudes proporcionales.

Teorema 67 Si un segmento tiene como sus puntos extremos de dos lados de un triangulo, entonces este es paralelo al tercer lado y su longitud es un medio de la longitud del tercer lado.

Teorema 68 Si tres líneas paralelas intersectan dos transversales, entonces ellas dividen a las transversales proporcionalmente.

Teorema 69 Si tres líneas paralelas cortan a segmentos congruentes en una transversal, entonces ellas cortan a segmentos congruentes en cualquier transversal

Teorema 70 Si dos triángulos son semejantes, entonces la medida de los perímetros correspondientes son proporcionales a la medida de los lados correspondientes.

Teorema 71 Si dos triángulos son semejantes, entonces la medida de las altitudes correspondientes son proporcionales a la medida de los lados correspondientes

Teorema 72 Si dos triángulos son semejantes, entonces la medida de las bisectrices angulares correspondientes de los triángulos son proporcionales al medida de los lados correspondientes.

Teorema 73 Si dos triángulos son semejantes, entonces la medida de las medianas correspondientes son proporcionales a la medida de los lados correspondientes.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Teorema 74 Si la altura es dibujada desde el vértice de un ángulo recto hacia la hipotenusa de un triangulo recto, entonces los dos triángulos formados son semejantes al triangulo dado y son semejantes entre si.

Teorema 75 La medida de la altura dibujada desde un ángulo recto hacia la hipotenusa de un triangulo recto es media proporcional geométrica entre la medida de los dos segmentos de la hipotenusa.

Teorema 76 Si la altura es dibujada a la hipotenusa de un triangulo recto, entonces la medida de cada cateto del triangulo es media proporcional geométrica entre la medida de la hipotenusa y la medida del segmento de la hipotenusa adyacente a ese cateto.

El Teorema de Pitágoras En un triangulo rectángulo, la suma de las medidas de los  cuadrados construidos sobre los catetos es igual a la medida del cuadrado construido sobre la hipotenusa. .

30-60-90 Teorema Si los ángulos agudos de un triangulo recto tienen una medida de 30 y 60 grados, entonces la medida de la hipotenusa es 2 veces la medida del cateto menor y la medida del cateto mayor es la raíz cuadrada de 3 veces la medida del cateto mayor.

45-45-90 Teorema Si cada ángulo agudo de un triangulo rectángulo  tiene una medida de 45 grados, entonces la medida de la hipotenusa es la raíz cuadrada de 2 veces la medida de un cateto.

CÍRCULOS Y ESFERAS

Teorema 77 En un plano, si una línea contiene un punto en el interior del circulo, entonces la línea intersecta al circulo en exactamente dos puntos.

Teorema 78 En un circulo o en círculos congruentes, dos ángulos centrales son congruentes si y solamente si sus arcos menores son congruentes.

Teorema 79 En un circulo o en círculos congruentes, dos arcos menores son congruentes si y solamente si sus cuerdas correspondientes son congruentes.

Teorema 80 En un circulo, si el diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces este divide a la cuerda y a sus arcos.

Teorema 81 En un circulo o en círculos congruentes, dos cuerdas son congruentes si y solamente si ellos son equidistantes con respecto al centro.

Teorema 82 Si un ángulo esta inscrito en un circulo, entonces la medida de los ángulos es igual a un medio de la medida de sus arcos interceptados.

Teorema 83 Si dos ángulos inscritos a un circulo o círculos congruentes interceptan arcos congruentes, entonces los ángulos son congruentes.

Teorema 84 Si un ángulo esta inscripto en un semicírculo, entonces el ángulo formado es un < recto

Teorema 85 Si los ángulos de un cuadrilátero están inscriptos en un circulo, entonces cada par de ángulos opuestos son suplementarios.

Teorema 86Si una línea es tangente a un circulo, entonces es perpendicular al radio dibujado al punto de tangencia.

Teorema 87 En un plano, si una línea es perpendicular con respecto al radio del circulo con sus puntos extremos en el circulo, entonces la línea es tangente.

Teorema 88 Si dos secantes con el mismo punto exterior son tangentes a un circulo, entonces ellas son congruentes.

Teorema 89 Si dos secantes intersectan en el interior de un circulo, entonces la medida del ángulo formado es un medio de la suma de las medidas de los arcos interceptados por el ángulo y su ángulo vertical.

Teorema 90 Si dos secantes intersectan en el exterior de un circulo, entonces la medida del ángulo formado es un medio de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

Teorema 91 Si una secante y una tangente intersectan en el punto de tangencia, entonces la medida de cada ángulo formado es un medio de la medida de su arco interceptado.

Teorema 92 Si una secante y una tangente, o dos tangentes, intercectan en el exterior de un circulo, entonces la medida del ángulo formado es un medio de la diferencia de la medida de los arcos interceptados.

Teorema 93 Si dos cuerdas intersectan en un circulo, entonces el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra cuerda.

Teorema 94 Si dos segmentos de la secante son dibujados en un circulo desde un punto exterior, entonces el producto de las medidas de un segmento de la secante y su secante externa es igual al producto de las medidas del segmento de la secante externa y sus segmento de la secante externa.

Teorema 95 Si un segmento de la tangente y un segmento de la secante son dibujados a un círculo desde un punto exterior, entonces el cuadrado de la medida del segmento de la tangente es igual al producto de las medidas del segmento de la secante y es el segmento de la secante externa.

Teorema 96 Si un plano intersecta a una esfera en más de un punto, entonces la intersección es un círculo.

ÁREA Y VOLUMEN

Teorema 96 Si un plano intersecta a una esfera en más de un punto, entonces la intersección es un círculo.

Postulado 7 Si dos polígonos son congruentes, entonces ellos tienen áreas iguales.

Postulado de la Adición del Área Si una región poligonal es separada en regiones no superpuestas, entonces la suma de las áreas de estas regiones es igual al área de la toda la región.

Área del rectángulo Si un rectángulo tiene un área de A
unidades cuadradas, una longitud de l unidades, y una anchura de w unidades, entonces A = lw

Postulado del Volumen por cualquier región sólida y una unidad de medida dada, existe un número positivo único llamado la medida del volumen de la región.

Postulado 8 Si dos regiones sólidas son congruentes, entonces ellos tienen el mismo volumen.

Postulado de la Adición del Volumen Si dos regiones sólidas son separadas en regiones que no se superponen, entonces la suma de los volúmenes de esa región es igual al volumen de la región dada.

Principio de Cavalieri Si dos sólidos tienen la misma área transversal-seccionada en cada nivel, y la misma altura, entonces ellos tienen el mismo volumen.

Área del Cuadrado Si un cuadrado tiene una área de A unidades cuadradas, y cada lado es s unidades de largo, entonces A = s.

Teorema 97 Si un segmento es un apotema de un polígono regular, entonces es perpendicular al lado del polígono en el mismo punto de la tangencia con el círculo inscrito.

Teorema 98 Un polígono es un polígono regular si y solamente si el circulo inscrito en un polígono y un circulo circunscrito alrededor del polígono tiene el mismo centro.

Área Lateral de un Prisma Recto Si un prisma recto tiene un área lateral de L unidades cuadradas, y una altura de h unidades, y cada base tiene un perímetro de p unidades, entonces L = ph.

Área Lateral de una Pirámide Regular Si una pirámide regular tiene un área lateral de L unidades cuadradas, una altura inclinada de 1 unidad, y su base tiene un perímetro de p unidades, entonces L =1/2pl.

COORDENADAS

Propiedad integra para los Puntos en un Plano Real Cada punto en un plano real de coordenadas corresponde a exactamente un par ordenado de números reales. Cada par ordenado de números reales corresponde a exactamente un punto en el plano de coordenadas

Teorema 99 Si un segmento es un apotema de un polígono regular, entonces es perpendicular al lado del polígono en el mismo punto de la tangencia con el círculo inscrito.

Teorema 100 Dos líneas no verticales tienen la misma pendiente si y solamente si el producto de sus pendientes es -1.

Pendiente-Punto de Interseccion. La ecuación de una línea que tiene una pendiente m y un punto de intersección b es y = mx +b.

Punto-Pendiente La ecuación de la línea que pasa por  el punto cuyas coordenadas son (x1,y1) y el cual tiene una pendiente m es y-y1=m(x-x1).

TRANSFORMACIONES

Teorema 101 Si una dilatación con un centro y una factor de escala dibuja A en B y B en D, entonces ED = k(AB).