Ecuación de segundo grado

    ECUACIÓN DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el mayor exponente de la incógnita es dos.

Cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma  ax² + bx + c = 0,  donde  a,  y  b  son los coeficientes de los términos 
x²  y  x respectivamente y  c  es el término independiente.

 

        Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes  a,  b,  y  c  son distintos de cero.

        La expresión de una ecuación de segundo grado completa es  ax² + bx + c = 0.

 

        Ecuación de segundo grado incompleta

        Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos  b  ó  c,  o ambos, son cero.

        (Si a = 0, la ecuación resultante sería  bx + c = 0,  que no es una ecuación de segundo grado.)

        La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

        ax² + bx = 0;    si    c = 0. Incompleta binomial

              ax² + c = 0;    si    b = 0.    Incompleta pura

I. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2º GRADO INCOMPLETAS

Las ecuaciones de segundo grado incompletas son:

A)   ax² + bx = 0;   si    c = 0. (Incompleta Binomial)

B)   ax² + c = 0;   si    b = 0.  (Incompleta Pura)

 

A)  ax² + bx = 0.

        Sacando factor común  x , resulta: x (ax + b) = 0.

Para que un producto de dos factores  x  y  (ax + b),  dé como resultado cero, uno de ellos debe ser cero:

Entonces: 

x = 0                            ax + b = 0

                                       ax = -b

                                         x = -b/a

        En consecuencia, las ecuaciones de la forma  ax² + bx = 0  tienen dos soluciones:

                                x = 0    y    x = -b/a

Observamos que una de las raíces es siempre cero.

Ejemplos: 

B)    ax² + c = 0.

Cuando tenemos que resolver una ecuación incompleta pura, despejamos x²  y luego extraemos raíz cuadrada

Si la cantidad subradical es positiva obtenemos dos raíces reales de igual valor absoluto y de distinto signo.

Si la cantidad subradical es negativa, obtenemos dos raíces imaginarias de igual valor absoluto y de distinto signo

Ejemplos: 

II. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS

Una ecuación de segundo grado completa puede expresarse en la forma 

ax² + bx + c = 0, donde  a,  b  y  c  son números distintos de cero.

        Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:

Se obtienen dos soluciones: 

Esta fórmula se obtiene a través de las siguientes transformaciones de la ecuación de partida     ax² + bx + c = 0

                               

Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente correspondiente.

De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, llamadas x₁  y  x₂,  dependiendo del signo + ó - que se toma delante de la raíz: 

Para aplicar la fórmula general es conveniente que:

la ecuación debe estar ordenada
el coeficiente de a sea positivo
Ejemplos:

RESUMIENDO:

III. Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado

        Dada la ecuación de segundo grado  ax² + bx + c = 0,  y  x₁  y  x₂  sus soluciones, se cumple:

1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado,  x₁ + x₂,  es

                        x1 + x2 = -b/a         

              

2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado,  x₁ × x₂, es

                           x1 . x2 = c/a

                                            

Determinación de una ecuación de segundo grado a partir de la suma y producto de sus soluciones 

IV. Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado

 

        A la expresión que aparece, en las fórmulas anteriores, bajo el signo de raíz, b² - 4ac,  se le denomina discriminante, y se representa por la letra griega delta mayúscula, D.

 

        D = b² - 4ac.

                                D > 0    Dos soluciones reales y distintas

 

                                D = 0    Dos soluciones reales e iguales

 

                                D < 0    Dos soluciones complejas    

V. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

2. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380.