Función de segundo grado

Llamaremos función cuadrática a toda función del tipo f(x)  = ax²  + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.
A la gráfica de esta función se le llama parábola.
A a y b se les llama coeficientes numéricos de x² y x, respectivamente. A c se le llama término independiente.

• Una parábola es la curva que representa, gráficamente, a la función cuadrática de la forma

y = ax²  + bx + c, con a, b, c pertenecientes a los reales y a ≠ 0.

• Las parábolas tienen elementos característicos que son:

Concavidad: es el sentido hacia donde se abren sus ramas.

Puede ser cóncava hacia arriba (si a  >  0) o cóncava hacia abajo (si a  <  0).

Por lo tanto, que la parábola sea cóncava hacia arriba (que se abra hacia arriba) o cóncava hacia abajo (que se abra hacia abajo) depende del valor de a (coeficiente numérico de x²).

Si a  >  0, entonces la parábola será cóncava hacia arriba. Si a  <  0, entonces la parábola será cóncava hacia abajo.

Vértice. Es el punto máximo o mínimo de la parábola.

El vértice de una parábola es el punto más bajo (cuando la parábola es cóncava hacia arriba)

o el punto más alto (cuando la parábola es cóncava hacia abajo).

En el primer caso, decimos que la parábola tiene un mínimo y en el segundo caso, que la parábola

tiene un máximo.

Se calcula usando la fórmula:

V=(-b/2a,f(-b/2a))=(-b/2a  ,(4ac-b^2)/4a)

Punto de corte con el eje y: Es el punto donde la parábola intersecta al eje y.

Este punto está dado siempre por ( 0,c ) .

Por lo tanto, si x = 0, entonces y = c.

Así, el punto de intersección de la parábola con el eje y será siempre (0, c).

Punto de corte con eje x: Es el punto donde la parábola intersecta al eje x.

Se resuelve la ecuación ax²  + bx + c = 0 (se iguala la función a 0).

La parábola puede tener dos, uno o ningún punto de corte con el eje x, dependiendo de las soluciones de la ecuación.

Si las soluciones son x₁ y x₂, entonces los puntos de corte son ( x₁ ,0 ) y ( x₂ ,0 ) .

A los puntos de intersección de la parábola con el eje x se les llama también ceros de la función.

Eje se simetría: Es la recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola y la divide en 
dos partes iguales.

La ecuación del eje de simetría es x=-b/2a

El vértice de una parábola es el punto más bajo (cuando la parábola es cóncava hacia arriba) o el punto más alto (cuando la parábola es cóncava hacia abajo).

En el primer caso, decimos que la parábola tiene un mínimo y en el segundo caso, que la parábola tiene un máximo.

Que la parábola sea cóncava hacia arriba (se abra hacia arriba) o cóncava hacia abajo (se abra hacia abajo) depende del valor de a (coeficiente numérico de x²).

Si  a  >  0, entonces la parábola será cóncava hacia arriba. 

Si   a  <  0, entonces la parábola será cóncava hacia abajo.

¿Cómo determinar los puntos de corte o intersección de la parábola con los ejes coordenados?

a. Con el eje y

Todos los puntos sobre el eje y son de la forma ( 0,y ) ; esto implica que la condición que se debe cumplir es que la coordenada x sea igual a 0. 

Si la función cuadrática es y = f(x)  = ax²  + bx + c, podemos remplazar x = 0.

Entonces y = a    0 2  + b   0 + c       y = c