Funciones

Concepto de función

Una función es una regla que asocia a cada número x de un conjunto A un único valor f (x) de un conjunto B.

Al valor f (x) le llamamos imagen de x.

• En la expresión   y = f (x), y depende siempre de x, por esta razón a la variable x se le denomina

variable independiente y a la variable y se le llama variable dependiente.

• El dominio de una función es el conjunto de elementos para los cuales la función está definida.

Si f : A → B, se tiene que A (conjunto de partida) es el dominio y se simboliza: Dom f = A.

• El recorrido de una función es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que son la imagen de al menos un elemento del dominio. El recorrido de f es un subconjunto de B.

Otra forma de decirlo

Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A (dominio) un único elemento de otro conjunto B (codominio).

• El recorrido de una función es un subconjunto del codominio y sus elementos son todos los valores que toma la variable dependiente y.

• Cada elemento del recorrido es imagen de, al menos, un elemento del dominio. A su vez, cada elemento del dominio es preimagen de un único elemento del recorrido. Por ejemplo, si f es una

función y se cumple que f (1) = 6, entonces 6 es imagen de 1 y 1 es preimagen de 6.

• Una función se puede representar de diferentes maneras:

a) Describiendo la función por medio de palabras. Por ejemplo, en la expresión “a cada número real se le asigna su doble”, se establece f : A → B, donde A es el conjunto de los números reales R, y B es el conjunto cuyos elementos son, al menos, los números tales que cumplen la condición de ser el doble de cada elemento de A.

b) Por medio de una expresión algebraica que relaciona las variables. Por ejemplo, f (x) = 2x.

c) Usando una tabla de valores, en la que se asignan algunos valores para la variables independientes en la primera fila o columna, y se escriben sus respectivas imágenes en la segunda.

d)  Representando gráficamente en el plano cartesiano los pares ordenados (x, y) que cumplen

y = f(x).

e) Mediante un diagrama sagital, en el cual se representan dos conjuntos, uno para el conjunto A y otro para el conjunto B, y un grupo de flechas que representan la relación entre sus elementos.

 

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma f (x) = mx, donde m es un número real distinto de 0.

• La representación gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el origen (0, 0). El grado de inclinación de la recta se conoce como pendiente de la recta. En la función f(x) = mx, la pendiente se representa con la letra m. 

Por ejemplo, la función f(x) = 2x , tiene m > 0, mientras que g (x) = – 14 x, tiene m < 0.

• Tanto el dominio como el recorrido de la función lineal es el conjunto de todos los números reales.

Función afín

• Una función afín es una función de la forma f (x) = mx + n, donde m y n son números reales distintos de 0.

• La grafica de una función afín es una recta cuya pendiente es m y cuyo punto de intersección con el eje Y es (0, n). Por ejemplo, la grafica de la función f(x) = 2x + 3, representada en la figura de la derecha, tiene pendiente igual a 2 e interseca al eje Y en el punto (0, 3).

• Al igual que en una función lineal, el dominio y el recorrido de la función afín es el conjunto de todos los números reales.

Función exponencial

Una función exponencial es una función de la forma f(x) = a^x, donde a es un numero real positivo diferente de 1.

• El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales R. El recorrido lo constituye el conjunto de los números reales positivos R⁺.

• La orientación de la gráfica de f depende del valor de a. 

    No interseca al eje X, su asíntota es y = 0.

Función logarítmica

• Una función logarítmica es una función de la forma f (x) = log_b x, donde b es un número real positivo diferente de 1.

• El dominio de una función logarítmica es R⁺, mientras que su recorrido es R.

• La gráfica de la función logarítmica interseca al eje X en el punto (1, 0). No interseca al eje Y, su asíntota es x = 0.

Su orientación depende del valor de b, tal como se muestra en la figura de la derecha.

Función raíz cuadrada

Llamamos función raíz cuadrada a la función del tipo f (x) = √x.

• Tanto el dominio de la función f (x) = √x como su recorrido son todos los números reales positivos y el cero.

Función cuadrática

• Una función cuadrática es una función de la forma f (x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son números reales y a es distinto de 0.

• La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, la cual abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0, como se muestran en las figuras inferiores.

• Se pueden combinar desplazamientos verticales y horizontales de modo que la gráfica de la función cuadrática g(x) = (x – h)² + k este desplazada verticalmente en | k | unidades y horizontalmente en | h |  unidades, respecto de la grafica de f(x) = x². El vértice de la gráfica de g se sitúa en (h, k).

2) Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
3) Función inversa
4) Función potencia
5) Traslaciones horizontales y verticales
6) Situaciones que involucran la función potencia